01．整除特征在数论体系中的地位
小学奥数七大体系中，数论体系可按以下18个讲次来教学——
奇数与偶数
数的拆分
带余除法
周期问题
页码问题
整除性质与特征
位值原理
进位制
因数与倍数
质数与合数
因数定理
短除模型
余数性质
同余
同余式与不定方程
完全平方数
中国剩余定理
数论综合（与其他体系交叉，常见的有组合体系、计数体系）
以上讲次可粗略分为“整除性质”“因倍质合”“余数性质”三大阶段．
“整除特征”可以说是小学数论体系里面非常重要的入门内容——在学习“整除特征”之前，从“奇数与偶数”到“页码问题”，全都可以当做算术题、应用题来看待，不必专门强调它的“数论属性”；而从“整除特征”开始，数论知识的“天梯”才第一次在学生面前铺开，由于之后的讲次层层递进，环环相扣，想要学好数论，就必须溯源到“整除特征”．
“整除特征”最主要的教学目标是——让学生熟练判断一个大数能否被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,33,99,101,111,125,333,999,1001整除，以及，在不能整除的情况下，能否快速算出余数．
在学习“整除特征”时，会提前涉及到“位值原理”“因数倍数”“余数性质”等后续知识，这也为今后正式学习做了一定的铺垫．
02．如何从整体把握整除特征？
无论是老师授课，还是学生学习，在正式刷题之前，最好要对整除特征的整体脉络有一个初步把握．
本文尝试按照“整除、因倍、位值原理”、“整除性质”、“整除特征”、“末尾系整除特征”、“和系整除特征”、“差系整除特征”、“整除特征表”这七块内容进行梳理，最终得出结论——整除特征其实就是“给大数看面相”，“一叶而知秋”．
03．整除、因倍、位值原理
【整除】
我们知道，对于带余除法，可总结出以下关系式——
被除数÷除数＝商……余数
如果用非负整数a、b、q、r分别表示被除数、除数、商、余数（其中b不等于0），那么以上关系式可写成——
a÷b＝q……r
如果r＝0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a，记为b|a．
例如对于带余除法“105÷5＝21……0”，我们可以说105能被5整除，也可以说5能整除105，记为5|105．
【因倍】
如果r＝0，我们也可以说a是b或q的（整）倍数，又因为a÷b＝q可化为a＝b×q，我们还可以说b和q是a的因数．
例如对于带余除法“105÷5＝21……0”，我们可以说105是5或21的倍数，也可以说5和21是105的因数．
【最大公因数】
因为30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30．
因为36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，所以36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36．
观察发现1、2、3、6既是30的因数也是36的因数，于是把1、2、3、6称为30与36的公因数，而这些公因数中最大的是6，我们就把6叫做30与36的最大公因数，记为(30,36)＝6．
【位值原理】
一个多位数比如“1111”，哪怕都是数字“1”，但由于“站位”不同，所表示的数值也不同——也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”，两者共同决定了该位上数的大小．
例如：1111＝1×1000＋1×100＋1×10＋1×1，123＝1×100＋2×10＋3×1．
04．整除性质
在知道了整除、因倍等概念之后，我们可以用它们来推导以下性质——
【性质1】和差
如果整数a和整数b都能被整数c整除，则它们的和或差也能被c整除．
即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)．
例如：5|15，5|10，那么5|(15±10)．
但必须注意的是，以上叙述反过来不成立，即两数的和或差能被c整除，这两个数不一定能被c整除．
例如：5|(11＋29)，但11、29均不能被5整除．
【性质2】传递
如果整数a能被整数b整除，b又能被整数c整除，那么a也能被c整除．
即：如果b|a，c|b，那么c|a．
例如：15|45，5|15，那么5|45．
【性质3】乘积
如果整数a能被整数b整除，也能被整数c整除，且b和c最大公因数是1，那么a一定能被b与c的乘积整除．
即：如果b|a，c|a，并且(b,c)＝1，那么bc|a．
例如：如果3|60，5|60，并且(3,5)＝1，那么(3×5)|60．
【性质4】因数
如果整数a能被整数b与整数c的积整除，那么a也能被b或c整除．
即：如果bc|a，那么b|a，c|a．
例如：(6×9)|108，那么6|108，9|108．
在以上例子中，尽管6与9的最大公因数不是1，性质4依然成立，可见性质4并没有像性质3那样要求b与c的最大公因数是1．
【性质5】扩倍
如果整数a能被整数b整除，那么am也能被bm整除．（m是非零整数）
即：如果b|a，那么bm|am．（m是非零整数）
例如：7|21，那么(7×3)|(21×3)．
【性质6】复合
如果整数a能被整数b整除，整数c能被整数d整除，那么ac也能被bd整除．
即：如果b|a，d|c，那么bd|ac．
例如：3|9，5|10，那么(3×5)|(9×10)．
05．整除特征
（1）整除是带余除法的一种特殊情况
在被除数a很大（比如a＝
10154752214576652234155788）并且除数b相对很小（比如b＝2,3,5,7,11,13,17,19）的情况下，a除以b的商q会很大，又因为余数r小于除数b，除数小，余数只会更小，所以比起远大于余数r的商q，我们往往更关心余数r是几．
例如：a在数表中的位置，a天后是星期几，某数的a次方个位是几……解决这些问题只需要我们用a除以周期b，算出余数r即可．而余数有几种情况，完全取决于除数，如果除数是b，则余数r就有b种情况——比如a除以7的余数就恰好有7种情况：0,1,2,3,4,5,6．
根据整除的定义，我们发现，整除是余数为0的一种特殊情况．
本文探讨的整除特征，其实就是在讨论大数a的哪些特征可以帮助快速判断a除以b的余数r是否为0．
所以我们应该知道，余数问题是一个更大的范围，它包含了整除问题．
（2）部分与整体
接下来，让我们进一步理解整除特征．
所谓特征，就是一个整体区别于其他整体的部分，比如一个人的脸，脸（部分）就是人（整体）的特征，通过脸的特征信息，人脸识别系统就能区别对待不同的人．
有一句哲语说“一即是全，全即是一”，说的是无论你从微观还是从宏观去探索这个世界，得到的真理其实是一样的．这种观点认为，从一个整体中取走一小块，这个小块却包含了它所属整体的全部信息，这就类似于采集一只羊的组织样品，只需用该样品中的DNA就能克隆一只完整的羊．
不过在数学上，这个观点不一定正确，一般来说，你无法从一个真子集推知它的全集．不过，我们有时候并不关心全集，而是关心这个全集在某个特定操作下的结果是多少．一个集合并非它的所有部分都参与决定这个结果，那么针对该特定操作，我们只需要找到与之相关的那部分真子集，就足以得出结论，而这个真子集，也可以称为关于某个操作的特征．
（3）整除特征
对于一个大数a，除以某些特殊除数b，a的一些经过精心处理（其实就是利用位值原理去构造）的特征数确实是可以透露它的整除情况的——即我们只需要通过a的一部分信息就能得出a除以b的余数是多少．
（但如果是求a除以b的商和余数分别是多少，那就需要知道a的全部信息了．）
我们把一个大数a的末一位（末n位），数字和（数段和），数字奇偶差（数段奇偶差）统一命名为这个大数的特征数x，如果x能被整数b整除，那么a也能被整除；如果x除以b的余数是r，那么这个a除以b的余数也是r．
所以特征数x就好比大数a的脸部特征，我不需要看清大数a的全身，只看脸（特征数x）就能知道它的整除情况或余数情况．
（4）构造特征数的整体思路
在分别介绍“末尾系”“和系”“差系”之前，先简单提一下构造特征数的整体思路——我们把一个大数a分解成两部分的和，其中一大部分是给定除数b的倍数（这部分无论有多大，除以b的余数始终为0，可认为对余数没有任何贡献），那么只需看剩下的一小部分（特征数x）除以b的情况如何，就能知道a除以b的情况如何了．
06．末尾系整除特征
（1）为什么能被2或5整除的数的特征数是末一位？
在小低年级学习奇数与偶数时，我们就发现了2的倍数（即偶数）的个位数字规律：0、2、4、6、8——无论被除数a是一个几位数，只要a的个位（末一位）能被2整除，a就能被2整除；只要a的个位（末一位）除以2余1，a除以2就余1．
5也如此，无论被除数a是一个几位数，只要a的个位（末一位）能被5整除，那么a就能被5整除；只要a的个位（末一位）除以5余r（r＝1,2,3,4），那么a除以5就余r．
那么，为什么能被2和5的整除的数的特征数都是末一位呢？
（为了表述方便，接下来我们把“能被2和5的整除的数的特征数”简写为“2和5的整除特征”）
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以2或5的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567＝1234560＋7＝10×123456＋7．
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“10×123456”这部分能被10整除，又因为10＝2×5，根据整除性质4可知——
“10×123456”能被2整除，也能被5整除．
换一个说法：“10×123456”除以2的余数为0，除以5的余数也为0．
根据整除性质1，如果a（a＝10×123456＋7）想要被2或5整除，在第一部分“10×123456”已经被2或5整除的情况下，第二部分“7”也要被2或5整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被2或5整除的关键．
如果“7”除以2或5余数为0，那么a就能被2或5整除；
如果“7”除以2或5余数为r（r＝1,2,3,4），那么a除以2或5的余数就是r．
（这里用到了余数的可加性，虽然还没有正式学习余数的性质，但是可以这样给学生讲——a＝10×123456＋7，第一部分“10×123456”除以2或5不会产生余数，如果a除以2或5出现了余数，那么这个余数一定来自于第二部分“7”）
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以2或5时，只有它的末一位参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的末一位称为2或5的整除特征．
这就好比“1234567”是一条毛毛虫，“7”是它的脸，其余部分是它的身子，我们只需要看脸就能知道这条“毛毛虫”除以2或5的整除（余数）情况了．
（2）为什么4的整除特征不是末一位而是末两位？
我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是两位数），只要a的末两位能被4整除，a就能被4整除；只要a的末两位除以4余r（r＝1,2,3），a除以4就余r．
——为什么除数4作为一个一位数，它的整除特征却是末两位？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以4的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567＝1234500＋67＝100×12345＋67．
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“100×12345”这部分能被100整除，又因为100＝4×25，根据整除性质4可知——
“100×12345”能被4整除，也能被25整除．
换一个说法：“100×12345”除以4的余数为0，除以25的余数也为0．
根据整除性质1，如果a（a＝100×12345＋67）想要被4或25整除，在第一部分“100×12345”已经被4或25整除的情况下，第二部分“67”也要被4或25整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被4或25整除的关键．
如果“67”除以4或25余数为0，那么a就能被4或25整除；
如果“67”除以4或25余数为r，那么a除以4或25的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以4或25时，只有它的末两位参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的末两位称为4或25的整除特征．
并且我们还知道了——之所以4的整除特征不是末一位，是因为（在要求初学者掌握的整除特征中）除数4没有专属于自己的整除特征，作为100的因数，它和它的“搭档”25都依附于除数100的整除特征，因为除数100的整除特征是被除数a的末两位，所以4和25的整除特征都是末两位．
（3）为什么8的整除特征不是末一位而是末三位？
我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是三位数），只要a的末三位能被8整除，a就能被8整除；只要a的末三位除以8余r（r＝1,2,3,4,5,6,7），a除以8就余r．
——为什么除数8作为一个一位数，它的整除特征却是末三位？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以8的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567＝1234000＋567＝1000×1234＋567．
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“1000×1234”这部分能被1000整除，又因为1000＝8×125，根据整除性质4可知——
“1000×1234”能被8整除，也能被125整除．
换一个说法：“1000×1234”除以8的余数为0，除以125的余数也为0．
根据整除性质1，如果a（a＝1000×1234＋567）想要被8或125整除，在第一部分“1000×1234”已经被8或125整除的情况下，第二部分“567”也要被8或125整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被8或125整除的关键．
如果“567”除以8或125余数为0，那么a就能被8或125整除；
如果“567”除以8或125余数为r，那么a除以8或125的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以8或125时，只有它的末三位参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的末三位称为8或125的整除特征．
并且我们还知道了——之所以8的整除特征不是末一位，是因为（在要求初学者掌握的整除特征中）除数8没有专属于自己的整除特征，作为1000的因数，它和它的“搭档”125都依附于除数1000的整除特征，因为除数1000的整除特征是被除数a的末三位，所以8和125的整除特征都是末三位．
07．和系整除特征
（1）为什么9的整除特征不是末一位而是数字和？
我们知道——无论被除数a是一个几位数，只要a的（一位一段和）数字和能被9整除，a就能被9整除；只要a的（一位一段和）数字和除以9余r（r＝1,2,3,4,5,6,7,8），a除以9就余r．
那么，为什么9的整除特征不是末一位而是数字和呢？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以9的余数，能否只看a的末几位呢？显然不能——因为无论是1234560，还是1234500，又或是1234000，这些整十、整百、整千的数不一定都能被9整除，我们不能说“只有a的末几位才对除以9的余数有贡献”．所以我们不能只在a的末几位里寻找9的整除特征．
但是我们可以这样做：
a＝1234567
＝1×1000000＋2×100000＋3×10000＋4×1000＋5×100＋6×10＋7
＝1×(999999＋1)＋2×(99999＋1)＋3×(9999＋1)＋4×(999＋1)＋5×(99＋1)＋6×(9＋1)＋7
＝1×999999＋2×99999＋3×9999＋4×999＋5×99＋6×9＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)
＝9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”这部分能被9整除，又因为3|9，根据整除性质2可知——
“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”能被9整除，也能被3整除．
换一个说法：“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”除以9的余数为0，除以3的余数也为0．
根据整除性质1，如果a（a＝9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)）想要被9或3整除，在第一部分“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”已经被9或3整除的情况下，第二部分“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”也要被9或3整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被9或3整除的关键．
如果“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”除以9或3余数为0，那么a就能被9或3整除；
如果“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”除以9或3余数为r，那么a除以9或3的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以9或3时，只有它的数字和（一位一段和）参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的数字和（一位一段和）称为9或3的整除特征．
（2）为什么11的整除特征可以是两位一段和？
我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是两位数），只要a的（两位一段）数段和能被99整除，a就能被99整除；只要a的（两位一段）数段和除以99余r，a除以99就余r．
那么，为什么11的整除特征也可以是两位一段和呢？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以99的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567＝01234567
＝01×1000000＋23×10000＋45×100＋67
＝01×(999999＋1)＋23×(9999＋1)＋45×(99＋1)＋67
＝01×999999＋23×9999＋45×99＋(01＋23＋45＋67)
＝99×(01×10101＋23×101＋45×1)＋(01＋23＋45＋67)
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”这部分能被99整除，又因为33|99，11|99，根据整除性质2可知——
“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”能被99整除，也能被33整除，还能被11整除．
换一个说法：“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”除以99的余数是0，除以33的余数也是0，除以11的余数还是0．
根据整除性质1，如果a（a＝99×(01×10101＋23×101＋45×1)＋(01＋23＋45＋67)）想要被99或33或11整除，在第一部分“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”已经被99或33或11整除的情况下，第二部分“(01＋23＋45＋67)”也要被99或33或11整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被99或33或11整除的关键．
如果“(01＋23＋45＋67)”除以99或33或11余数为0，那么a就能被99或33或11整除；
如果“(01＋23＋45＋67)”除以99或33或11余数为r，那么a除以99或33或11的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以99或33或11时，只有它的“两位一段和”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“两位一段和”称为99或33或11的整除特征．
（特别提醒：“两位一段和”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，如果最左侧仅剩一个数字，可添零补足两位．）
（3）为什么111的整除特征可以是三位一段和？
我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是三位数），只要a的（三位一段）数段和能被999整除，a就能被999整除；只要a的（三位一段）数段和除以999余r，a除以999就余r．
那么，为什么111的整除特征也可以是三位一段和呢？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以999的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567＝001234567
＝001×1000000＋234×1000＋567
＝001×(999999＋1)＋234×(999＋1)＋567
＝001×999999＋234×999＋(001＋234＋567)
＝999×(001×1001＋234×1)＋(001＋234＋567)
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“999×(001×1001＋234×1)”这部分能被999整除，又因为333|999，111|999，根据整除性质2可知——
“999×(001×1001＋234×1)”能被999整除，也能被333整除，还能被111整除．
换一个说法：“999×(001×1001＋234×1)”除以999的余数是0，除以333的余数也是0，除以111的余数还是0．
根据整除性质1，如果a（a＝999×(001×1001＋234×1)＋(001＋234＋567)）想要被999或333或111整除，在第一部分“999×(001×1001＋234×1)”已经被999或333或111整除的情况下，第二部分“(001＋234＋567)”也要被999或333或111整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被999或333或111整除的关键．
如果“(001＋234＋567)”除以999或333或111余数为0，那么a就能被999或333或111整除；
如果“(001＋234＋567)”除以999或333或111余数为r，那么a除以999或333或111的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以999或333或111时，只有它的“三位一段和”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“三位一段和”称为999或333或111的整除特征．
（特别提醒：“三位一段和”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，如果最左侧仅剩不到3个数字，可添零补足三位．）
08．差系整除特征
（1）为什么11的整除特征除了两位一段和还可以是一位一段奇偶差？
11存在多个整除特征，其中包括——无论被除数a是一个几位数，只要a的“一位一段奇偶差”能被11整除，a就能被11整除；a的“一位一段奇偶差”除以11余r，那么a除以11就余r．
为什么11存在以上整除特征呢？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以11的余数，除了两位一段和以外，有没有别的巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567
＝1×1000000＋2×100000＋3×10000＋4×1000＋5×100＋6×10＋7
＝1×(999999＋1)＋2×(100001－1)＋3×(9999＋1)＋4×(1001－1)＋5×(99＋1)＋6×(11－1)＋7
＝1×999999＋2×100001＋3×9999＋4×1001＋5×99＋6×11＋(1－2＋3－4＋5－6＋7)
＝11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)＋(1－2＋3－4＋5－6＋7)
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”这部分能被11整除．
换一个说法：“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”除以11的余数为0．
根据整除性质1，如果a（a＝11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)）想要被11整除，在第一部分“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”已经被11整除的情况下，第二部分“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”也要被11整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被11整除的关键．
如果“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”除以11余数为0，那么a就能被11整除；
如果“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”除以11余数为r，那么a除以11的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以11时，只有它的“一位一段奇偶差”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“一位一段奇偶差”称为11的整除特征．
（特别提醒：“一位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，第1、3、5…段（奇数段）相加，第2、4、6…段（偶数段）相加，然后奇数段之和减去偶数段之和．）
（2）为什么少有人关心101的整除特征？
101是一个不常被提到的除数，不常见的原因并非它自身比较大，而是“没有更小的除数是它的因数”——101是一个质数．由于没有更小的除数“共享”101的整除特征，所以我们很少会用到它的整除特征——无论被除数a是一个几位数（至少是两位数），只要a的“两位一段奇偶差”能被101整除，a就能被101整除；只要a的“一位一段奇偶差”除以101余r，a除以101就余r．
为什么101存在以上整除特征呢？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以101的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567
＝01×1000000＋23×10000＋45×100＋67
＝01×(1000001－1)＋23×(9999＋1)＋45×(101－1)＋67
＝01×1000001＋23×9999＋45×101＋(67－45＋23－01)
＝101×(01×9901＋23×99＋45×1)＋(67－45＋23－01)
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”这部分能被101整除．
换一个说法：“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”除以101的余数为0．
根据整除性质1，如果a（a＝101×(01×9901＋23×99＋45×1)＋(67－45＋23－01)）想要被101整除，在第一部分“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”已经被101整除的情况下，第二部分“(67－45＋23－01)”也要被101整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被101整除的关键．
如果“(67－45＋23－01)”除以101余数为0，那么a就能被101整除；
如果“(67－45＋23－01)”除以101余数为r，那么a除以101的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以101时，只有它的“两位一段奇偶差”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“两位一段奇偶差”称为101的整除特征．
（特别提醒：“两位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，第1、3、5…段（奇数段）相加，第2、4、6…段（偶数段）相加，然后奇数段之和减去偶数段之和．）
（3）为什么7作为一位数，它的整除特征却是三位一段奇偶差？
我们知道——无论被除数a是一个几位数（至少是三位数），只要a的“三位一段奇偶差”能被7整除，a就能被7整除；只要a的“三位一段奇偶差”除以7余r，a除以7就余r．
——为什么除数7作为一个一位数，它的整除特征却是三位一段？
让我们来看以下例子——
假设a＝1234567，想要求1234567除以7的余数，除了直接列竖式计算以外，有没有巧算办法呢？
还可以这样做：
a＝1234567＝001234567
＝001×1000000＋234×1000＋567
＝001×(999999＋1)＋234×(1001－1)＋567
＝001×999999＋234×1001＋(001－234＋567)
＝1001×(001×999＋234×1)＋(001－234＋567)
通过以上操作，a被分成了两部分，其中“1001×(001×999＋234×1)”这部分能被1001整除，又因为7|1001，11|1001，13|1001，根据整除性质2可知——
“1001×(001×999＋234×1)”能被1001整除，也能被7、11、13整除．
换一个说法：“1001×(001×999＋234×1)”除以1001的余数是0，除以7、11、13的余数也是0．
根据整除性质1，如果a（a＝1001×(001×999＋234×1)＋(001－234＋567)）想要被7或11或13整除，在第一部分“1001×(001×999＋234×1)”已经被7或11或13整除的情况下，第二部分“(001－234＋567)”也要被7或11或13整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被7或11或13整除的关键．
如果“(001－234＋567)”除以7或11或13余数为0，那么a就能被7或11或13整除；
如果“(001－234＋567)”除以7或11或13余数为r，那么a除以7或11或13的余数就是r．
（设a等于一个任意的七位数 ，甚至一个任意的多位数，请读者自证以上结论仍成立．）
通过以上例子，我们知道了一个多位数a除以7或11或13时，只有它的“三位一段奇偶差”参与决定余数r（r＝0则整除），所以我们把a的“三位一段奇偶差”称为7或11或13的整除特征．
（特别提醒：“三位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位，即从右至左的顺序，第1、3、5…段（奇数段）相加，第2、4、6…段（偶数段）相加，然后奇数段之和减去偶数段之和．）
并且我们还知道了——之所以7的整除特征不是“一位一段”，是因为（在要求初学者掌握的整除特征中）除数7没有专属于自己的整除特征，作为1001的因数，它和它的“搭档”11、13都依附于除数1001的整除特征，因为除数1001的整除特征是被除数a的“三位一段奇偶差”，所以7、11、13的整除特征都是“三位一段奇偶差”．
09．整除特征表
在分别学习了“末尾系”“和系”“差系”的整除特征之后，很有必要通过一个表格对以上知识进行一个汇总——
制表人：奥术师
以下是对上表内容进一步的补充：
11有多种整除特征，通常情况下，建议使用专属于11的整除特征——“一位一段奇偶差”,因为这个特征用起来最方便． （读者可思考：除了11，别的除数是否也存在多种整除特征？）
给多位数分段时应按照从末位到首位（从右至左）的顺序，若最左侧仅剩的数字不足一段，可添零补位．
除数整除特征数，则除数整除被除数；特征数除以除数余几，则被除数除以除数就余几．
差系特征数的计算有两种方式：①如果仅仅是为了判断整除，把被除数分段后先分别计算奇数段之和与偶数段之和，然后用“较大的和”减“较小的和”，所得结果即特征数；②如果不仅是为了判断整除，在不能整除时还要算出余数，那么就只能用奇数段之和减偶数段之和来计算特征数，但是有可能奇数段之和小于偶数段之和导致不够减，这种情况就要在原算式基础上加若干个除数，直到够减为止．
为什么在计算差系特征数的时候，可以在原算式的基础上加若干个除数？我们用整除性质来证明（会涉及到同余和余数性质的知识）：已知整数a是被除数，正整数b是除数，整数q是商，整数r是余数，另设k为正整数，那么有：a＝bq＋r；已知1|q，1|k，根据整除性质5，有b|bq，b|bk；又根据整除性质1，得到：b|(bq＋bk)；那么(bq＋bk)÷b的余数是0，则(bq＋bk＋r)÷b的余数是r，也就是(a＋bk)÷b的余数是r． 所以在被除数的基础上增加若干个除数，余数不变．
根据整除性质2，若较小除数是较大除数的因数，那么较小除数能共享较大除数的整除特征．比如5的整除特征原本是末一位，但由于5|25，5|125，所以末两位、末三位也可以作为5的整除特征．
反之则不然，哪怕较小除数是较大除数的因数，较大除数也不能共享较小除数的整除特征．比如25的整除特征原本是末两位，尽管5|25，但是25无法使用末一位作为整除特征．
10．总结
本文从“整除”、“因倍”、“位值原理”等基础知识出发，介绍了初学者有必要了解的“整除性质”，然后运用“位值原理”去构造，运用“整除性质”去推理，全面系统地得出了“末尾系”、“和系”、“差系”的“整除特征”，最后汇总整理出了具有实用价值的“整除特征表”．
无论是末尾系、和系还是差系，无论是一位一段、两位一段还是三位一段，利用整除特征得出的特征数，都可看作“大数的面相”——我们只需看到“大数的脸”，就足以判断它除以特定除数的整除情况．