基本信息编辑
中文名
正三棱锥
外文名
regular triangular pyramid
特点
锥体中底面是等边三角形
定义
锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥
性质
底面是等边三角形
底面中心
也是重心、垂心、外心、内心
正三棱锥编辑
底面是等边三角形的几何体
正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。
目录
1性质2相关计算
性质
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1．底面是等边三角形。
2．侧面是三个全等的等腰三角形。
3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。
4.常构造以下四个直角三角形（见图）：
正三棱锥V-ABC
（1）斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）
（2）高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）
（3）高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）
（4）斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。
说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
相关计算
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基本公式
h为底高（法线长度），A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有：三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的侧面积，则：(其中
为第i个侧面的面积）
三棱锥体积公式证明
如图，这是一个一般的三棱柱ABC-A’B’C’，它的体积可以分为三个等体积的三棱锥，即三棱锥C-A’AB，三棱锥C-A’B’B，三棱锥A’-CB’C’.因为三棱柱的侧面A’ABB’是平行四边形，所以
，即其中三棱锥C-A’AB与三棱锥C-A’B’B的底面积相等，它们两个的顶点都是C，即C到它们底面的距离都相等，所以三棱锥C-A’AB与三棱锥C-A’B’B的体积相等。而三棱锥C-A’B’B也可以看作是三棱锥A’-BCB’，且三棱锥A’-CB’C’与三棱锥A’-BCB’的底面积相等（即△BCB’与△B’C’C的面积相等），且它们两个的顶点都是A’，即A’到它们底面的距离都相等，所以三棱锥A’-CB’C’与三棱锥A’-BCB’的体积也相等，故三棱锥C-A’AB，三棱锥C-A’B’B，三棱锥A’-CB’C’的体积都相等，由此可见，一个三棱柱的体积等于三个等体积的三棱锥体积之和，即
.
海伦秦九韶体积公式
已知三棱锥棱长求其体积的体积公式。
正三棱锥
任意一个三棱锥或者说四面体，其棱为a，b，c，d，e，f，其中a与d，b与e，c与f互为对边，那么有三棱锥（四面体）的体积公式为
正四面体内切球心
内切球心在顶点与底面重心的连线的距底面
处
相关计算：
因为正四面体底面为正三角形，所以斜高线位于任意顶点与底边中点连线，又三线合一，所以侧面重心位于高线距顶点
处，即可算出顶点与重心（球与侧面切点）的距离，又知正三棱锥边长，即可根据勾股定理算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度，即可算出底面与球心的距离（即内切球半径）。
正四面体外接球心
外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点
处
相关计算：
和计算内切球心一样算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度，即可算出顶点与球心的距离（即外接球半径）。
补充高考可能用到的数据（如图）：
正三棱锥
对于棱长为a的正四面体，有：
1、侧面高（斜高）为
2、高为
3、内切球半径
4、外接球半径
