近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪些实际问题，还是与其他学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直与各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅只在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性。20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
1.1 出入门径——认识数学模型与数学建模
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包含具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。
我们也可以直观的理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际应用中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家，等等的过程。数学建模一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言，等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用了一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
下面通过三个例子由浅入深让大家明白什么是数学模型与什么是数学建模。
例1-1 测量山高问题
小明站在一个小山丘上，想要测量这个山丘的高度。他站在山边，采取了最原始的方法：从小山丘向下丢一小石子，5s后他听到了从小山丘下传来的回音，请各位尝试建立数学模型估计小山丘的高度。
【解题思路】
数学建模的初学者一看到这个问题也许会认为数学建模并不是一件困难的事情，因为很多学生在高中时就遇到过这个问题。确实是这样！这是一个比较简单的实际问题（数学建模问题），大家很容易得到
运用自由落体公式，可以计算出山的高度。也许有人会提出疑问：上述运算是数学建模吗，这样数学建模不是很简单吗？是的，可以认为这样的运算过程就是数学建模。上述建立的模型可以成为最理想的自由落体模型，因为这是在非常理想化状态下建立的模型，它没有考虑任何其他可能影响测量的因素。数学建模就是一个解决实际问题的方法，上述方法解决了测量山高度的问题。但是在此需要说明一旦：数学建模问题与其他数学问题不同，数学建模问题的结果本身没有对错之分，但有优劣之分。建立模型解决问题也许不难，但是需要所建立的数学模型能够有效地指导实际工作就比较困难了。这正是数学建模的难点，也是各类数学建模竞赛考查的主要内容。下面继续通过这个例子来解释数学模型间的优劣之分。
虽然上述理想的自由落体模型可以计算出山的高度，但计算所得到的结果可能存在较大的误差。122.5m这个答案在高中考试中应该是一个标准答案，不会认为这个答案是错误的。但是测量队在测量山高时绝对不会采用上述计算得到的结果，因为它可能存在较大的误差，所以它是不能被接受的。在研究这个问题的同时请各位不要忘记：现在这里研究的不再是一个抽象的理论问题而是具体的实际问题，各位所建立的数学模型或者结果应该能对实际工作有较强的指导意义，应该尽力使求得的答案贴近事实。
那么在这个问题中我们还需要考虑哪些因素？例如人的反应时间，在现实中这是一个需要考虑的因素。通过查找资料,可以知道人的反应时间约为0.1秒左右，那么计算式子在结果上能够得到改善：
数学建模竞赛是一种开放性的比赛，竞赛过程中允许查找相关资料来帮助求解。通过上面的分析可以发现117.649m比122.5m更加接近实际情况。相比理想的自由落体模型，以上的数学建模过程可以称为修正的自由落体模型。就实际测量而言，修正的自由落体模型比理想的自由落体模型更加优秀，因为得到的结果更加接近实际。两种模型得到的答案也可以说都是正确的，两种答案都是基于不同的假设前提得到的。理想的自由落体模型假设不考虑人的反应时间，如果你作为数学建模竞赛的评委，相信你会选择修正自由落体模型，因为它得到的答案更加接近实际情况。
一个优秀的队伍往往能够做得更多！在考虑人的反应时间这一因素后，还有没有其他因素需要考虑，例如空气阻力？各位有了这样的思维外，还拥有微积分这一解题工具。通过查阅相关资料，可以发现石头所受空气阻力和速度成正比，阻力系数与质量之比为0.2。由此我们又可以建立以下微分方程模型：
解微分方程得
积分得
在竞赛培训中很多学生可能认为自己的数学能力不够好，因此打退堂鼓。然而他们不知道现在已经有很多数学软件可以帮助他们完成编程任务。这样使得所有专业的学生站在同一起跑线上参加竞赛。如果大家不能够解决上述的微分方程，那么就交给软件去做。上述常微分方程，通过Matlab的编程计算一点也不困难，仅仅一行代码即可得到答案。Matlab的人机交互界面做得很好，大家可以上机训练。
实现微积分求解功能
实现积分功能
数学建模竞赛是一个开放式的竞赛，大家可以借助一切手段（数学软件、图书资料等）得到你想要的结果。正是因为这一点，可以使所有参赛的学生站在同一起跑线上。整体来说数学软件Matlab是一个非常庞大的软件，要全部掌握它是很困难的，而数学建模竞赛仅仅只用到其中的部分知识。
通过以上计算可以发现，计算结果得到了很大的改善，理想自由落体模型计算方法得到的山高122.5m的确存在着较大的误差。如果用心，大家可以做得更好。在实际生活中。回音传播时间是另一个不可忽略的因素。因此我们在上述模型的基础上引入回音传播时间t2，对模型进行如下 修改：
得：
在这个例题中，先后呈现了四种不同的解题方法，也可以说四种不同的数学模型，希望大家能够通过这个例子体会到数学模型的真谛：能够解决问题的方法就是数学模型，其本身没有对错之分，以上四种模型计算得到的答案应该说都是正确的，但是其本身有优劣之分，问题在于思考的角度。它是一种新的思维方法，从以上的例子可以得到，数学模型往往是以下两个方面的权衡：
1、数学建模是用以解决实际问题的，所建立的模型不能太理想、太简单，过于理想化的模型往往脱离实际情况，这就违背了建模的目的；
2、数学建模必须是以能够求解为前提的，建立的模型一定要能够求出解，所建立的模型不能过于实际，过于实际的模型往往难以求解，因此做适当的简化假设是十分重要的。